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第19回・合同な図形のしきつめ

歩道や広場などが,四角形のタイルできれいにしきつめられているようすを見たことがあるでしょう。
では,みなさんが知っている四角形ならどんな形でも,すきまなくしきつめることができるのでしょうか?

「正方形」「長方形」はぴったりしきつめられるのはすぐに分かりますね!

「ひし形」「平行四辺形」も同じ向きに並べてしきつめることができます。

台形は,向きを変えてつなぎ合わせると平行四辺形ができます。
この平行四辺形を並べていくと考えれば,しきつめられることが分かりますね!

しきつめられるかどうかのポイントはどこにあるのでしょう?
辺の長さでしょうか?

次に,4 つの辺の長さがちがう四角形を考えて見ましょう。

この四角形を同じ向きに並べてしきつめることはできませんが,下の図のように向きを変えて並べると,1 つの頂点の周りを この四角形でしきつめることができます。
(1 つの頂点の周り=360°で,これは,四角形の4 つの角の和a+b+c+d=360°と同じです!)

これを,それぞれの頂点でくり返していけば,しきつめられることが分かりますね。

※平面をしきつめるためのポイントは,1 つの頂点の周り(360°)をしきつめられるかです。

ですから,内角の和が360°である四角形はどんな形でも平面をしきつめることができます。

三角形でも同じように考えることができます。
三角形の内角の和は180°ですから,3 つの三角形を使えば180°の角ができます。これをつなげれば360°
になるので,どんな三角形でも6 つの三角形を使えば1 つの頂点の周りをしきつめることができます。

正方形や正三角形は平面をしきつめることができます。では,正五角形や正六角形ではどうでしょう?

正五角形…正五角形の1 つの角は108°である。360°÷108°=3.3333… わり切れない→しきつめられない。
正六角形…正六角形の1 つの角は120°である。360°÷120°=3 わり切れる (1 つの頂点に3 つの正六角形が集まる)

→しきつめられる。

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