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第10回・同じ誕生日

第10回・同じ誕生日

まったく知らない人どうしの30 人が集まって,「この中で,誕生日が同じである2人の組が少なくとも1組はいるだろうか?それとも,いないだろうか?」といった賭けをしたとします。あなたはどちらに賭けますか。

1 年を365 日とすると,1月1日から12 月31 日まで,異なる誕生日は全部で365 通りあるわけだから,30 人では感覚的に「いない」に賭けるひとが多いのではないでしょうか。

ところが,この場合「いない」に賭けた人はほぼ7割の確率で負けになります。

今回は,このことを確率の計算を使って確認してみましょう。

まず,30 人全員の誕生日がそれぞれ違う確率を求めます。

はじめに,30 人の中から適当に1 人の人を選びます。次にもう1 人の人を選ぶと,この人が1 人目と違う誕生日である確率は364/365となります。次に3 人目を選び,この人が1 人目,2 人目と違う誕生日

である確率は363/365,さらに4 人目が1,2,3人目と違う誕生日である確率は362/365となり,次々に続けていくと,最後の30 人目が1,2,3,・・・,29 人目と違う誕生日である確率は336/365となります。したがって,30 人全員が違う誕生日である確率は,

となります。

つまり,30 人がそれぞれバラバラの誕生日である確率は約30%であり,逆に約70%の確率で誕生日が同じの2 人組が少なくとも1 組はいることになるのです。 意外に大きい確率で同じ誕生日の人がいるものだなと思いませんか? ちなみに,23 人集まればほぼ半分の確率で同じ誕生日の2 人組がいることになり,50 人集まればほぼ95%の確率で同じ誕生日の2 人組がいることになります。(下グラフ参照)

誕生日が同じである組が1 組以上いる確率


<あなたと同じ誕生日の人がいる確率>

しかし,これは自分と同じ誕生日の人がいる確率とはちがいます。
あなたを含めた30 人の中にあなたと同じ誕生日の人がいる確率は次のようになります。
あなた以外の29 人の中から1 人目をつれてきます。この人があなたと違う誕生日である確率は,364/365です。2 人目をつれてきて,この人もあなたと違う誕生日である確率は364/365 です。同様に,29 人の1人1人について,あなたと違う誕生日である確率はそれぞれ364/365 だから,29 人全員があなたと違う誕生日である確率は,

と364/365を29 回掛け合わせた値になり,この値はおよそ0.923・・・となります。つまり,92%以上の確率であなたと同じ誕生日の人はいないということになります。
つまり,30 人の中にあなたと同じ誕生日の人がいる確率は8%以下ということになります。

あなたの学校のクラスの中に,あなたと同じ誕生日の人が少なくとも1 人はいるおよその確率を計算してみよう。
(ヒント:364÷365=0.997 として,電卓で計算しよう)

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