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数学や算数の学習を,単に問題を解くだけでなく,もっと楽しく深く触れていただけるのに役立つ事柄を用意しました。

 

第8回・●●算と方程式

中学受験でよく見られる旅人算やつるかめ算と呼ばれる文章題はとても難しいですね。苦労した人もいるでしょう。
でも,小学校のとき苦手だった文章題が,方程式を学習することで「方程式を使えばこんなに簡単なんだぁ」と気づいた人たちも多いのではないでしょうか。
小学校のときの解き方と方程式での解き方が全然違うのに同じ答えが出るのはなぜでしょう? 本当にまったく違うことをしているのでしょうか?

<旅人算の問題>

弟は家を出て,毎分50m の速さで学校に向かいました。8 分後忘れ物に気づいた母は毎分150m の速さで弟を追いかけました。
母は家を出てから何分後に弟に追いつきますか。

この問題を「算数方式」と「方程式方式」で解いてみましょう。

「算数方式」

母が家を出るとき,弟は8 分間歩いていたから,
2 人の差は50×8=400(m) ひらいている。
弟は毎分50m,母は毎分150m の速さで進むから,
1 分間に2 人の差は150-50=100(m) ずつ縮まる。
よって,50×8÷(150-50)=4(分後) に母は弟に追いつく。

となります。では,次に方程式で解いてみましょう。

「方程式方式」

母は家を出てからx 分後に弟に追いつくとする。
追いつくまでに母はx (分間)歩いているので,150x(m) 進む。
追いつかれるまでに弟はx+8(分間)歩いているので,50(x+8)(m) 進む。
「追いつく」ということは「2 人の進んだ道のりが同じ」ということだから,
母の進んだ道のり=弟の進んだ道のり → 150x=50(x+8) という方程式ができます。
この方程式を解くと,x=4 となるので,4 分後に弟に追いつく。

どちらも4 分後と求められました。

でも,どうしてこの方程式を解くと,4 という数字が求められるのでしょう?
ここで,方程式を解く過程を見てみましょう。
150x=50(x+8)
150x=50x+50×8
150x-50x=400
100x=400 ←この式に注目です。
x=4

左辺の100 は算数方式で見た「1 分間に縮まる2 人の道のり」で,右辺の400 は「母が家を出るときの2 人の道のりの差」です。
このあと,x=400÷100 をするのですから,まさに,50×8÷(150-50)を計算していることと同じなのです。おもしろいですね。

方程式は,正しい方程式さえ作れれば後はその方程式を解くだけで,求めたい数値(x)を求めることができます。
が,ちょっと視点を変えて,計算途中に出てくる数値にも着目してみるとよいでしょう。(ただし,方程式を解く際,途中で約分やいろいろな操作をすることで,使われている数値が算数方式とは結びつかなくなることもあるので注意です)

<つるかめ算の問題>

鶴の足は2本、亀の足は4本あります。鶴と亀が合わせて10 匹います。足は全部で28 本あります。このとき,鶴は何匹(羽)いますか。

※亀ばかり10 匹(鶴は0 匹)だとすると足の数は4×10=40(本)になります。   亀を1 匹減らし9 匹に,鶴を1 匹増やし1 匹にすると足の数は4×9+2×1=38(本)になります。 つまり,鶴の数を1 増やす(亀の数を1減らす)ごとに足の数は2(1 匹の足の数の差)減ります。 この考え方が基本になります。

「算数方式」

亀ばかり10 匹(鶴は0 匹)だとすると足の数は4×10=40(本)
実際には28 本だから,その差は40-28=12(本)
この差を鶴と亀の1 匹の足の数の差4-2=2 でわれば,鶴の数が出る。(12 本分減らすには,鶴を何匹増やせばいいかを考える)
よって,(4×10-28)÷(4-2)
=6(匹)…鶴の数 となる。

「方程式方式」

鶴をx 匹とすると,亀は10-x (匹)になる。
鶴の足は2 本だから,鶴の足の合計は2x (本)
亀の足は4 本だから,亀の足の合計は4(10-x)(本)
鶴の足の合計+亀の足の合計=28 → 2 x+4(10-x)=28 という方程式ができます。
この方程式を解くと, 2x+40-4x=28
-2x=28-40
-2x=-12 ← 両辺に-1 をかければ,2x=12 となります。
この後x=12÷2 の計算をしますから,まさに,上の(4×10-28)÷(4-2)の式と同じ計算ですね。
x=6 となるので鶴は6 匹
ここまで見てきて,どちらの解き方に“よさ”を感じましたか?
算数方式では,「ひき算の結果の差は何の数を表しているのか」等を考えながら解く必要があります。そのため,扱っている数を具体的にイメージしやすいというよさがあります。
一方,方程式方式では,数量の関係をとらえて立式してしまえば,後は形式的に計算するだけ,という非常に合理的なよさがあります。これは文字を使うことを学んだよさといえます。

文字を使うよさは,今回の方程式だけでなく,今後の数学の学習の場面で感じることができるでしょう。

次の問題を算数方式と方程式方式で解いてみましょう。
「120 円のジュースを何本かと150 円のお菓子を1 つ買ったところ,代金は630 円でした。
ジュースを何本買いましたか。」

4 本
「算数方式」

代金630 円のうち,ジュースだけの代金は630-150=480(円)
これをジュース1 本の値段でわればよいから,
(630-150)÷120=4
「方程式方式」
ジュースをx 本とすると,
代金の合計=630 →120x+150=630
これを解いて,x=4

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