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第6回・ドーナツの体積を求めよう

<回転体>

右の図1のような正方形を直線l のまわりに1回転させると,図2のような円柱ができます。

この円柱において,底面の面積は、
高さは2cm なので,
円柱の体積=底面の面積×高さ より,
体積は,となります。

このように,回転体の体積を求めることは中学1年で学習しますが,上の方法とまったくちがう求め方があります。その方法を紹介しましょう。

下の図3のように,平面図形をつり下げたとき,その平面図形が水平になってつりあうような点を重心といい,しばしば「G」(“gravity=重力”の頭文字)という文字で表されます。この重心の位置は図形によっていろいろで,円の場合はその中心,正方形や長方形の場合は対角線の交点になります。


特に三角形では,重心は1つの頂点と向かい合う辺の中点を結ぶ線分を2:1 に分ける点になります。

驚くべきことに,ある平面図形を直線のまわりに回転してできる立体の体積は,
(その図形の面積)×(重心がえがく円の周の長さ)
で求めることができるのです(重心は,直線のまわりを1回転させると円をえがきます)。

このことを用いると,上の図1において,正方形の面積は,2×2=4(c㎡)で,
重心(対角線の交点)がえがく円周の長さは,2π×1=2π(センチメートル)なので,この正方形を回転させてできる立体の体積は,

と求めることができます。

<ドーナツの体積>

さて,いよいよ本題に入りましょう。ドーナツ形は下の図のように,円を直線のまわりに1回転させてできた立体と考えることができます(数学の世界では,円環体(えんかんたい)またはトーラスと呼ばれています)。
円の重心はその中心と一致するので,もとの円の半径と,円の中心と直線との距離がわかれば,ドーナツ形の体積を求めることができます。


例えば,右の図のように,半径が2 cm で,中心と直線l との距離が6 cmである円を,直線l のまわりに1回転させてできるドーナツ形の体積は,

円の面積=

中心Oがえがく円周の長さ=2π×6=12π(cm)

より,となります。

 

 

右の図のような,半径が1 cm で,中心と直線lとの距離が5 cm である円を,直線l のまわりに1回転させてできるドーナツ形の体積を求めましょう。

 

円の面積=,中心Oがえがく円周の長さ=
より, 求める体積は,

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